Partie 1 : Entiers positifs et bases de numération

Programme officiel (B.O.)

B.O. spécial n° 1 du 22 janvier 2019 - NSI Première

Contenus	Capacités attendues	Commentaires
Écriture d'un entier positif dans une base b >= 2	Passer de la représentation d'une base dans une autre.	Les bases 2, 10 et 16 sont privilégiées.

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1. Introduction : pourquoi d'autres bases ?

Au quotidien, nous comptons en base 10 (système décimal). Nous utilisons 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ce choix est lié à nos 10 doigts, mais il n'a rien d'universel.

Les ordinateurs, eux, ne connaissent que deux états électriques : tension haute ou tension basse. Ils travaillent donc en base 2 (système binaire), avec seulement deux chiffres : 0 et 1.

Pour des raisons de lisibilité, les informaticiens utilisent aussi la base 16 (système hexadécimal), qui est un raccourci pratique pour écrire des nombres binaires.

À retenir

Un ordinateur stocke et manipule toutes ses données sous forme de 0 et de 1. Comprendre les bases de numération est indispensable pour comprendre comment les données sont représentées en machine.

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2. Le système décimal (base 10)

2.1 Principe de la numération positionnelle

Dans le système décimal, la position d'un chiffre détermine sa valeur. Prenons le nombre 5 307 :

Milliers	Centaines	Dizaines	Unités
5	3	0	7
5 × 10³	3 × 10²	0 × 10¹	7 × 10⁰
5 000	300	0	7

On a donc : 5 307 = 5 × 10³ + 3 × 10² + 0 × 10¹ + 7 × 10⁰

Chaque position correspond à une puissance de 10. C'est ce qu'on appelle la décomposition en puissances de la base.

2.2 Généralisation à une base quelconque

Ce principe fonctionne dans n'importe quelle base b >= 2. Un nombre écrit en base b utilise les chiffres de 0 à b - 1, et chaque position correspond à une puissance de b.

Notation

Pour éviter toute confusion, on note la base en indice. Par exemple :

• $(1101)_2$ signifie « 1101 en base 2 » ;
• $(5307)_{10}$ signifie « 5307 en base 10 » ;
• $(2F)_{16}$ signifie « 2F en base 16 ».

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3. Le système binaire (base 2)

3.1 Les chiffres binaires : les bits

En base 2, on n'utilise que deux chiffres : 0 et 1. Chaque chiffre binaire s'appelle un bit (contraction de l'anglais binary digit).

Un groupe de 8 bits forme un octet (en anglais byte).

Terme	Définition
Bit	Plus petite unité d'information. Vaut 0 ou 1.
Octet	Groupe de 8 bits. Peut représenter 2⁸ = 256 valeurs différentes (de 0 à 255).

3.2 Décomposition en puissances de 2

La lecture d'un nombre binaire suit le même principe que le décimal, mais avec des puissances de 2.

Exemple : convertir $(1101)_2$ en décimal

On numérote les positions de droite à gauche, en commençant à 0 :

Position	3	2	1	0
Bit	1	1	0	1
Puissance	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
Valeur	1 × 8 = 8	1 × 4 = 4	0 × 2 = 0	1 × 1 = 1

$(1101)_2$ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 en décimal.

3.3 Les puissances de 2 à connaître

Il est utile de mémoriser les premières puissances de 2 :

2⁰	2¹	2²	2³	2⁴	2⁵	2⁶	2⁷	2⁸	2⁹	2¹⁰
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1 024

À retenir

• Avec n bits, on peut représenter 2ⁿ valeurs différentes, soit les entiers de 0 à 2ⁿ - 1.
• Avec 8 bits (1 octet) : 256 valeurs, de 0 à 255.
• Avec 16 bits : 65 536 valeurs, de 0 à 65 535.

3.4 Conversion décimal vers binaire : méthode des divisions successives

Pour convertir un entier décimal en binaire, on effectue des divisions euclidiennes successives par 2 et on lit les restes de bas en haut.

Exemple : convertir 45 en binaire

Division	Quotient	Reste
45 ÷ 2	22	1
22 ÷ 2	11	0
11 ÷ 2	5	1
5 ÷ 2	2	1
2 ÷ 2	1	0
1 ÷ 2	0	1

On lit les restes de bas en haut : $(45)_{10}$ = $(101101)_2$

Vérification : 1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45 ✓

3.5 Méthode alternative : soustraction de puissances de 2

On peut aussi procéder par soustractions successives de la plus grande puissance de 2 possible :

Exemple : convertir 45 en binaire par soustraction

1. La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 45 est 2⁵ = 32. On écrit un 1 en position 5. Reste : 45 - 32 = 13.
2. La plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 13 est 2³ = 8. On écrit un 1 en position 3 (et un 0 en position 4). Reste : 13 - 8 = 5.
3. 2² = 4 <= 5. On écrit un 1 en position 2. Reste : 5 - 4 = 1.
4. 2⁰ = 1 <= 1. On écrit un 1 en position 0 (et un 0 en position 1). Reste : 0.

Résultat : $(101101)_2$ ✓

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4. Le système hexadécimal (base 16)

4.1 Les 16 chiffres hexadécimaux

En base 16, il faut 16 symboles. Comme nous n'avons que 10 chiffres (0 à 9), on ajoute les six premières lettres de l'alphabet :

Hexadécimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Décimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Notation courante

En informatique, les nombres hexadécimaux sont souvent précédés de 0x. Par exemple, 0x2F signifie $(2F)_{16}$.

4.2 Conversion hexadécimal vers décimal

Même principe que pour le binaire, avec des puissances de 16 :

Exemple : convertir $(2F)_{16}$ en décimal

Position	1	0
Chiffre	2	F (= 15)
Puissance	16¹ = 16	16⁰ = 1
Valeur	2 × 16 = 32	15 × 1 = 15

$(2F)_{16}$ = 32 + 15 = 47 en décimal.

Exemple : convertir $(1A3)_{16}$ en décimal

$(1A3)_{16}$ = 1 × 16² + 10 × 16¹ + 3 × 16⁰ = 256 + 160 + 3 = 419 en décimal.

4.3 Conversion décimal vers hexadécimal

On applique la méthode des divisions successives par 16 :

Exemple : convertir 750 en hexadécimal

Division	Quotient	Reste	Chiffre hexa
750 ÷ 16	46	14	E
46 ÷ 16	2	14	E
2 ÷ 16	0	2	2

On lit de bas en haut : $(750)_{10}$ = $(2EE)_{16}$

Vérification : 2 × 256 + 14 × 16 + 14 × 1 = 512 + 224 + 14 = 750 ✓

4.4 Conversion binaire vers hexadécimal (et inversement)

La base 16 est une puissance de 2 (16 = 2⁴), ce qui crée une correspondance directe : chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de 4 bits.

À retenir

Pour convertir du binaire vers l'hexadécimal, il suffit de regrouper les bits par paquets de 4 (en partant de la droite) et de remplacer chaque groupe par le chiffre hexadécimal correspondant. Pour l'opération inverse, on remplace chaque chiffre hexadécimal par ses 4 bits.

Table de correspondance :

Hexa	Binaire		Hexa	Binaire
0	0000		8	1000
1	0001		9	1001
2	0010		A	1010
3	0011		B	1011
4	0100		C	1100
5	0101		D	1101
6	0110		E	1110
7	0111		F	1111

Exemple : convertir $(10110111)_2$ en hexadécimal

1. On regroupe par 4 en partant de la droite : 1011 | 0111
2. On convertit chaque groupe : 1011 = B, 0111 = 7
3. Résultat : $(10110111)_2$ = $(B7)_{16}$

Exemple : convertir $(3D)_{16}$ en binaire

1. On remplace chaque chiffre par ses 4 bits : 3 = 0011, D = 1101
2. Résultat : $(3D)_{16}$ = $(00111101)_2$

C'est pour cette raison que l'hexadécimal est si utilisé en informatique : il offre une notation compacte du binaire tout en restant facile à convertir.

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5. Nombre de bits nécessaires

Pour représenter un entier positif N en binaire, combien de bits sont nécessaires ?

La réponse est liée à la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à N :

Formule

Le nombre de bits nécessaires pour écrire un entier positif N >= 1 en binaire est :

n = partie entière de log₂(N) + 1

En pratique : il faut n bits pour écrire les entiers de 0 à 2ⁿ - 1.

Nombre de bits	Valeur maximale	Nombre de valeurs
1	1	2
4	15	16
8 (1 octet)	255	256
16	65 535	65 536
32	4 294 967 295	environ 4,3 milliards
64	environ 1,8 × 10¹⁸	environ 1,8 × 10¹⁹

Exemple

• Pour écrire 100 en binaire, il faut 7 bits (car 2⁶ = 64 < 100 <= 127 = 2⁷ - 1).
• Pour écrire 255 en binaire, il faut 8 bits (car 255 = 2⁸ - 1 = $(11111111)_2$).
• Pour écrire 256 en binaire, il faut 9 bits (car 256 = 2⁸ = $(100000000)_2$).

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6. En Python

Python offre des fonctions intégrées pour travailler avec les bases :

6.1 Conversion décimal vers binaire et hexadécimal

>>> bin(45)
'0b101101'

>>> hex(750)
'0x2ee'

>>> hex(255)
'0xff'

Les préfixes 0b et 0x indiquent respectivement la base 2 et la base 16.

6.2 Conversion vers le décimal

La fonction int() avec un second argument permet de convertir depuis n'importe quelle base :

>>> int('101101', 2)
45

>>> int('2F', 16)
47

>>> int('1A3', 16)
419

6.3 Écriture directe en binaire et hexadécimal

On peut écrire directement des nombres en base 2 ou 16 dans le code Python :

>>> 0b101101
45

>>> 0x2F
47

>>> 0b11111111
255

>>> 0xFF
255

6.4 Nombre de bits nécessaires

>>> (45).bit_length()
6

>>> (255).bit_length()
8

>>> (256).bit_length()
9

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7. Résumé

Concept	Base 10	Base 2	Base 16
Nom	Décimal	Binaire	Hexadécimal
Chiffres utilisés	0 à 9	0 et 1	0 à 9 et A à F
Préfixe Python	(aucun)	0b	0x
Fonction Python	int()	bin()	hex()
Usage principal	Vie courante	Stockage machine	Notation compacte

Conversion	Méthode
Base b vers base 10	Décomposition en puissances de b
Base 10 vers base b	Divisions successives par b (lire les restes de bas en haut)
Base 2 vers base 16	Regrouper les bits par paquets de 4
Base 16 vers base 2	Remplacer chaque chiffre hexa par ses 4 bits