Partie 1 : Réseaux sociaux et théorie des graphes

B.O. spécial n° 1 du 22 janvier 2019 - SNT Seconde

Contenus	Capacités attendues
Identité numérique, e-réputation, identification, authentification	Connaître les principaux concepts liés à l'usage des réseaux sociaux.
Graphe, sommet, arête, chemin, distance, diamètre, centre, rayon	Modéliser un réseau social par un graphe. Identifier les sommets et les arêtes d'un graphe. Calculer la distance entre deux sommets, le diamètre et le centre d'un graphe.
Notion de « petit monde »	Décrire comment l'information est conditionnée par le choix préalable de ses amis.
Cyberviolence	Connaître les dispositions de l'article 222-33-2-2 du code pénal. Connaître les différentes formes de cyberviolence et les ressources pour lutter contre.

Un réseau social est une plateforme en ligne qui permet à ses utilisateurs de créer un profil, de se connecter avec d'autres personnes et de partager du contenu (textes, photos, vidéos...).

Les réseaux sociaux reposent sur la mise en relation de personnes partageant des centres d'intérêt communs : amis, collègues, passions, localisation...

1.1. Les différents types

Type	Objectif	Exemples
Communication	Échanger des messages, discuter	WhatsApp, Messenger, Signal
Partage de médias	Publier photos et vidéos	Instagram, YouTube, TikTok
Professionnel	Développer son réseau de travail	LinkedIn
Information	Suivre l'actualité, débattre	X (ex-Twitter)
Généraliste	Combiner communication, partage, groupes	Facebook

1.2. Quelques chiffres

Les réseaux sociaux comptent des milliards d'utilisateurs actifs dans le monde. En France, un utilisateur y passe en moyenne plus d'une heure par jour. Ces plateformes sont pour la plupart gratuites pour l'utilisateur, ce qui soulève la question de leur modèle économique.

2.1. Notion de graphe

Un réseau social peut être représenté mathématiquement par un graphe :

Chaque utilisateur est un sommet (ou nœud) du graphe.
Chaque lien d'amitié ou de relation entre deux utilisateurs est une arête du graphe.

    Alice --- Bob
      |      / |
      |    /   |
    Clara --- David

Dans ce graphe : 4 sommets (Alice, Bob, Clara, David), 5 arêtes (les liens d'amitié).

2.2. Graphe orienté et graphe non orienté

Tous les réseaux sociaux ne fonctionnent pas de la même manière. Il est important de distinguer deux types de graphes :

Graphe non orienté
Graphe orienté

Dans un graphe non orienté, les arêtes n'ont pas de direction : si Alice est amie avec Bob, alors Bob est automatiquement ami avec Alice. La relation est réciproque.

Exemple : sur Facebook, l'amitié est toujours mutuelle. Si Alice envoie une demande d'ami à Bob et que Bob accepte, ils sont amis l'un de l'autre.

Alice ---- Bob     (arête simple, relation réciproque)

Dans un graphe orienté, les arêtes ont une direction (on les appelle alors des arcs) : Alice peut suivre Bob sans que Bob ne suive Alice. La relation n'est pas nécessairement réciproque.

Exemple : sur X (ex-Twitter) ou Instagram, on peut suivre quelqu'un sans que cette personne vous suive en retour. Une célébrité peut avoir des millions d'abonnés tout en ne suivant que quelques dizaines de personnes.

Alice ---→ Bob     (arc orienté : Alice suit Bob, mais Bob ne suit pas Alice)

2.3. Chaîne et distance

Une chaîne est une suite de sommets reliés par des arêtes consécutives. Par exemple, Alice-Clara-David est une chaîne de longueur 2.
La distance entre deux sommets est la longueur de la plus courte chaîne qui les relie.

2.4. Matrice d'adjacence

La matrice d'adjacence est un tableau qui permet de représenter un graphe sous forme numérique. Pour un graphe à n sommets, c'est un tableau de n lignes et n colonnes :

On place un 1 à l'intersection de la ligne i et de la colonne j si les sommets i et j sont reliés par une arête.
On place un 0 sinon.

Considérons un réseau social de 8 personnes : Alice (A), Bob (B), Clara (C), David (D), Emma (E), Fatou (F), Gabriel (G) et Hugo (H).

Les relations d'amitié sont : A-B, A-C, A-F, B-C, B-D, C-E, D-E, D-G, F-G, F-H, G-H.

Alice --- Bob           Fatou --- Hugo
  |  \    |               |  \    |
  |   \   |               |   \   |
Clara  Fatou            Gabriel --+
  |       |
Emma --- David --- Gabriel

Matrice d'adjacence :

	A	B	C	D	E	F	G	H
A	0	1	1	0	0	1	0	0
B	1	0	1	1	0	0	0	0
C	1	1	0	0	1	0	0	0
D	0	1	0	0	1	0	1	0
E	0	0	1	1	0	0	0	0
F	1	0	0	0	0	0	1	1
G	0	0	0	1	0	1	0	1
H	0	0	0	0	0	1	1	0

On remarque que la matrice est symétrique par rapport à la diagonale : c'est toujours le cas pour un graphe non orienté (si A est ami avec B, alors B est ami avec A).

Calcul des distances depuis Alice (A) :

d(A, B) = 1, d(A, C) = 1, d(A, F) = 1 (amis directs)
d(A, D) = 2 (A → B → D), d(A, E) = 2 (A → C → E), d(A, G) = 2 (A → F → G), d(A, H) = 2 (A → F → H)

Écartement de A = max(1, 1, 2, 2, 1, 2, 2) = 2

Calcul des distances depuis Hugo (H) :

d(H, F) = 1, d(H, G) = 1
d(H, A) = 2 (H → F → A), d(H, D) = 2 (H → G → D)
d(H, B) = 3 (H → F → A → B), d(H, C) = 3 (H → F → A → C), d(H, E) = 3 (H → G → D → E)

Écartement de H = max(2, 1, 1, 2, 3, 3, 3) = 3

Tableau récapitulatif des écartements :

Sommet	A	B	C	D	E	F	G	H
Écartement	2	3	3	2	3	3	3	3

Centre du graphe : A et D (écartement minimal = 2)
Rayon : 2
Diamètre : 3 (par exemple, la distance entre B et H, ou entre E et H)

2.5. Écartement, centre, rayon et diamètre

Notion	Définition	Exemple
Écartement d'un sommet	Distance maximale entre ce sommet et tous les autres	Si Alice est à distance 1 de Bob, 1 de Clara et 2 de David, son écartement est 2
Centre du graphe	Sommet(s) dont l'écartement est minimal	Le(s) sommet(s) le(s) plus "central(aux)" du réseau
Rayon du graphe	Écartement du centre	Plus petit écartement parmi tous les sommets
Diamètre du graphe	Distance maximale entre deux sommets quelconques	Donne la "taille" du réseau

2.6. Le phénomène du « petit monde »

L'expérience de Milgram (1967)

En 1967, le psychologue américain Stanley Milgram a réalisé une expérience devenue célèbre. Il a envoyé 296 lettres à des personnes choisies au hasard dans le Nebraska et le Kansas (centre des États-Unis), en leur demandant de faire parvenir chaque lettre à une personne cible précise habitant à Boston (côte Est), qu'elles ne connaissaient pas personnellement. La seule règle : chaque participant devait transmettre la lettre à une connaissance personnelle qui, selon lui, avait le plus de chances de connaître la cible ou de s'en rapprocher.

Résultat : les lettres qui sont arrivées à destination sont passées en moyenne par six intermédiaires. Milgram en a conclu que deux personnes prises au hasard aux États-Unis sont reliées par une chaîne d'environ six connaissances. C'est la théorie des six degrés de séparation.

Les six degrés de séparation à l'ère numérique

Sur les réseaux sociaux numériques, cette distance est encore plus courte. En 2016, une étude menée par Facebook sur l'ensemble de ses utilisateurs (près de 1,6 milliard de personnes à l'époque) a montré que deux utilisateurs quelconques étaient séparés en moyenne par seulement 3,57 intermédiaires. Le « petit monde » est devenu encore plus petit grâce aux connexions numériques.